可以說，所有的數學問題都是分解轉化為基本模型來解決的，解題就是組織和構造模型的過程。所謂模型，指一組有固定特征相互關聯的元素所形成的具備獨特性質的結構。每個數學概念和性質都是一個基本模型，若干基本模型可以組成復合模型，從具體問題中識別構造數學模型可以考察和訓練學生的抽象能力、分析能力、建模能力，幫助學生深刻理解知識之間的聯系與轉化。比如初中階段非常典型的“手拉手”模型，它時常變臉以各種不同的面目出現在各種不同階段不同難度的題目中，令許多學生感到防不勝防屢屢中招，其實只要弄清原理和方法，就可以融會貫通靈活應用。一、模型的基本結構：（1）兩個共頂點的等腰直角三角形OAB和OCD，可證得△OAC≌△OBD（SAS），且是旋轉90度的位置關系，AC與BD相等且垂直。（2）兩個共頂點且頂角相等的任意等腰三角形OAB和OCD，可證得△OAC≌△OBD（SAS），且旋轉角為∠AOB，AC與BD相等且交角等于∠AOB。（3）兩個共頂點的任意相似三角形OAB和OCD，可證得△OAC∽△OBD（兩邊成比例且夾角相等），且旋轉角為∠AOB，AC:BD=AO:BO，且交角等于∠AOB。二、模型的抽象表征研究表明，知識的抽象表征是深度理解的標志，它有利于知識的廣泛遷移和靈活應用，所以對以上模型不僅要有直觀認識，而且要能進行抽象概括。條件特征：共頂點的兩個三角形相似，其中一個旋轉縮放可以得到另一個，即對應點的排列順序相同。結論推導：把兩個已知相似三角形的對應點連接得兩條線段，分別與公共點構成的兩個三角形也相似。（已知三角形是等腰三角形時相似比為1，即得全等）三、模型的直接應用：由一生二，導角導邊例1.如圖，△OAB和△OCD都是等邊三角形，求證：OP平分∠APD分析：如下圖，由“SAS”證△OAC≌△OBD，作AC、BD邊上的高，可得全等三角形對應高相等OE=OF，所以OP平分∠APD。例2.如圖，點O在線段AB上，△OAB和△OCD都是等邊三角形，試探索EF與AD的位置關系。分析：同理可證△OAC≌△OBD，得∠OAF=∠OBE，再證△OAF≌△OBE，得OF=OE，又∠BOC=60°，所以△OEF是等邊三角形，∠OEF=∠DOC=60°，即可得EF∥AD。例3.如圖，分別以△ABC三條邊為邊在同側作等邊三角形，試探索當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形。分析：找出圖中的手拉手模型，可證△ABC≌△DEC≌△FBE，得DE=AB=AF，EF=AC=AD，所以四邊形ADEF是平行四邊形（∠BAC≠60°），若是矩形需∠DAF=90°，可得∠BAC=150°，即當∠BAC=150°時四邊形ADEF是矩形。四、模型的轉化應用：添補拆分，化隱為顯例4.如圖，△ABC和△DEF都是等邊三角形，O是AC和DF的中點，求BE：AD的值。分析：以O為公共點構造“手拉手”模型，可證得△BOE∽△AOD，BE：AD=OB：OA=√3。例5.如圖，矩形OABC和矩形ODEF中，OC=6，OA=3，OF=3，OD=1，求AD：CF：BE的值。分析：圖中含有兩組“手拉手”模型，第一組如下圖，上圖中△AOD∽△COF，得AD：CF=OC：OA=2：1。第二組“手拉手”如下圖，如上圖，同理得△BOE∽△COF，得BE：CF=OB：OC=√5：2，所以BE：CF：AD=√5：2：1。實質上結果即是矩形的對角線和兩邊的比。例6.如圖，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠ABC=∠AED=90°，O是CD的中點，試探索EF與BF的數量關系和位置關系。分析：“手拉手”模型由兩個共頂點的相似三角形構成，并且是旋轉縮放關系。圖中△ABC和△AED相似但方向不一致，所以將△ABC和△AED翻折即可得到“手拉手”模型，如下圖：可證△ACM≌△AND，得CM=DN，CM⊥DN，又EF=1//2 CM，BF=1//2 DN，知EF=BF，又EF∥CM，BF∥DN，知EF⊥BF。五、模型的構造應用：一轉成雙，一有盡有例7.如圖，AC=BC，∠ACB=90°，點D、E在AB上，AD=3，BE=2，∠DCE=45°，求DE的長。分析：構造“手拉手”模型把相關線段轉移集中，即把△ACD繞點C旋轉90°至△BCF，如下圖：由旋轉可得△BCF≌△ACD，BF=AD，∠CBF=∠A=45°，再證△CEF≌△CED，得EF=DE，在Rt△BEF中，可求EF=√13，即DE=√13。例7.如圖，AP=4，AB=10，∠BPC=90°，tan∠BCP=2，求AC的取值范圍。分析：圖中的關鍵線段AB、AP、AC如何轉化集中使其產生關系呢？圖中形狀確定的△BCP如何應用？如下圖，把AB、AC、AP其中一條線段分別繞點B、C、P旋轉縮放構造“手拉手”即可。作AD=1//2 AB=5，，∠BAD=90°，可證△BCD∽△BAP，得CD：AP=BC：BP=√5：2，CD=2√5，所以5-2√5≤AC≤5+2√5。以下幾種構造原理相同：例8.如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AB=AD，BC=2，CD=3√2，求AC的長。分析：俗話說“獨足難行，孤掌難鳴”，圖中已有一個確定形狀的三角形△ABD，再構造一個與之形狀相同大小確定的三角形組成“手拉手”模型即可使圖形產生聯系，如下圖：構造∠CAE=90°，AE=AC，證得△ADE≌△ABC，導邊得DE=BC=2，導角知∠CDE=135°，在△CDE中解三角形得CE=√34，所以AC=√13。上圖也可以看成把關鍵圖形△ABC繞點A逆時針旋轉90°而得。本題依同樣的思路還可以產生多種構造方法，讀者可自行思考。在以上分析問題尋找思路的過程中，運用了觀察聯想、推理轉化等思維策略，使用了定變分析、完形構造等解題方法，采用了分解組合、運動變換等構造方式，直達本質、簡單明了，讓解決問題更加高效準確。數學教學不僅要關注知識概念的結構化系統化，還要關注方法策略的結構化系統化，而且后者更為重要，因為這決定著所學知識能不能轉化為實際能力。但學校教學一般僅注重知識概念的整理歸納，缺乏對方法策略的總結提煉和系統訓練，只是在反復練習過程中使原本已掌握的東西增加熟練程度而已，導致學生的思維層次很難躍升，出現“會的一直會，不會的始終不會”這種原地徘徊現象。本人所著的《中考數學思維方法與解題策略》一書就是為了解決上述問題，揭示核心的思維策略，訓練常用的解題方法，從根本上完善和發展學生的問題解決能力。《中考數學思維方法與解題策略》最新修訂版剛剛上市，了解詳情請點擊：中考數學思維方法與解題策略購書方式：一、復制地址下面地址：https:////detail.tmall.com//item.htm?id=610634152944進瀏覽器或手機淘寶打開。
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